Variable random adalah suatu fungsi yang harganya merupakan bilangan riil dan ditentukan oleh setiap elemen dari suatu ruang sample. Apabila suatu ruang sample berisi sejumlah elemen yang terbatas, maka ruang sample tersebut disebut sebagai ruang sampel diskrit, san variable randomnya disebut variable random diskrit. Sebaliknya apabila jumlah elemen pada ruaqng sample itu tidak terbatas, maka ruang sample tersebut disebut ruang sample kontinu, dan variable randomnya disebut variable random kontinu. Dalam hal ini, variable random diskrit akan mempresentasikan data yang dapat dihitung, sedangkan variable random kontinu mempresentaskan variable yang dapat diukur.

Jawaban:
Perhitungan dimulai dari stage terakhir (n = 3) dan bergerak mundur hingga stage pertama (n = 1)
N = 3

N = 2

N = 1

Dengan demikian, maka solusi optimumnya adalah x1* = 1, sehingga s = 5 – 1 = 4 untuk n =2. akibatnya x2* = 3. selanjutnya s = 4 – 3 = 1 untuk n = 3 sehingga x3* = 1. karena f1* (5) = 170, maka alokasi (1, 3, 1) dari team kesehatan pada tiga Negara ini akan menhasilkan taksiran total 170.000 penambahan umur tahun kehidupan penduduk.

Pada persoalan ini pemain yang akan memaksimumkan (pemain A) akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan menggunakan criteria maksimum, sedangkan pemain yang akan meminimumkan (pemain B) akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan menggunakan criteria minimaks. Jika nilai maksimin sama dengan nilai minimaks, maka permainan telah dipecahkan. Sedangkan jika nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, maka titik keseimbangan tidak dapat tercapai. Hal ini berarti saddle point­-nya tidak adadan permainan tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa permaian dengan strategi murni memliki satu saddle point dengan nilai 4. Strategi optimum bagi perusahaan A adalah A2, dan strategi optimum bagi perusahaan B adalah B3. Berikut ini diberikan suatu konklusi dari criteria maksimin dan minimaks:
Criteria maksimin diperoleh dengan cara mendapatkan nilai minimum dari masing-masing baris. Nilai terbesar dari nilai-nilai minimum adalah nilai maksimin.
Kriteri minimaks diperoleh dengan cara mendapatkan nilai maksimum dari masing-masing kolom. Nilai terkecil dari nilai maksimum ini adalah nilai minimaks.

SUMBER: Dimyati A, Operations Research, Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung, 2006.

Teori permainan merupakan bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih barada dalam kondisi perasaingan atau konflik. Pihak-pihak yang bersaing disumsikan bersifat rasional untuk memenangkan persaingan itu, dan masing-masing pihak juga mengetahui strategi pihak lawannya.
Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada factor-faktor berikut: banyaknya pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yang digunakan dalam permainan.

SUMBER: Dimyati A, Operations Research, Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung, 2006.

Analisis jaringan merupakan suatu perpaduan pemikiran yang logis, digambarkan dengan suatu jaringan yang berisi lintasan-lintasan kegiatan dan memungkinkan pengolahan secara analitis. Analisa jaringan kerja memungkinkan suatu perencanaan yang efektif dari suatu rangkaian yang mempunyai interaktivitas. Keuntungan dari analisis jaringan adalah:

1. Dapat merencanakan suatu proyek secara keseluruhan.
2. Penjadwalan pekerjaan dalam urutan yang praktis dan efisien.
3. Pengadaan pengawasan dan pembagian kerja maupun biaya.
4. Penjadwalan ulang untuk mengatasi hambatan dan keterlambatan.
5. Menentukan kemungkinan pertukaran antara waktu dan biaya.
   

SUMBER: http://www.google.co.id/search?hl=id&source=hp&q=analisis+jaringan&btnG=Telusuri+dengan+Google&meta=&aq=f&oq=

PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. PERT yang memiliki kepanjangan Program Evalution Review Technique adalah suatu metodologi yang dikembangkan oleh Angkatan Laut Amerika Serikat pada tahun 1950 untuk mengatur program misil. Sedangkan terdapat metodologi yang sama pada waktu bersamaan yang dikembangkan oleh sektor swasta yang dinamakan CPM atau Critical Path Method.
Metodologi PERT divisualisasikan dengan suatu grafik atau bagan yang melambangkan ilustrasi dari sebuah proyek. Diagram jaringan ini terdiri dari beberapa titik (nodes) yang merepresentasikan kejadian (event) atau suatu titik tempuh (milestone). Titik-titik tersebut dihubungkan oleh suatu vektor (garis yang memiliki arah) yang merepresentasikan suatu pekerjaan (task) dalam sebuah proyek. Arah dari vektor atau garis menunjukan suatu urutan pekerjaan.
Dari gambar 1 dapat diamati bahwa setiap arah panah akan menunjukan suatu urutan pengerjaan. Seperti pekerjaan 1 dilakukan terlebih dahulu (start), kemudian bisa dilanjutkan oleh pekerjaan 2, 3, 4, setelah itu pekerjaan 5,6. Titik 7 adalah titik finish dimana pekerjaan terakhir dilakukan dan merupakan akhir dari sebuah proyek. Selain menunjukkan suatu urutan pengerjaan diagram PERT juga menunjukan suatu keterikatan antar pekerjaan yang tidak dapat dipisahkan. Keterikatan itu dapat dilihat dengan contoh pekerjaan 2, 3, 4 hanya dapat dilakukan jika pekerjaan 1 sudah selesai dilakukan.
Sebuah pekerjaan yang dapat dilakukan bersamaan dengan pekerjaan lain disebut juga sebagai pekerjaan pararel (pararel task atau concurrent task). Selain itu terdapat juga sebuah aktivitas yang diwakili oleh garis putus-putus yang disebut dengan dummy activities. Dari sebuah diagram PERT dapat digunakan untuk mengetahui suatu urutan aktivitas kritis atau aktivitas yang harus dilakukan sebagai prioritas utama (critical path), penjadwalan dengan aktivitas lain, dan jumlah pekerja yang dibutuhkan.

Dalam melakukan perencanaan dengan PERT dibutuhkan beberapa langkah, yaitu:
1. Mengidentifikasi aktivitas (activity) dan titik tempuhnya (milestone).
Sebuah aktivitas adalah pekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sebuah proyek. Titik tempuh (milestone) adalah penanda kejadian pada awal dan akhir satu atau lebih aktivitas. Untuk mengidentifikasi aktivitas dan titik tempuh dapat menggunakan suatu tabel agar lebih mudah dalam memahami dan menambahkan informasi lain seperti urutan dan durasi.
2. Menetapkan urutan pengerjaan dari aktivitas-aktivitas yang telah direncanakan.
Langkah ini bisa dilakukan bersamaan dengan identifikasi aktivitas. Dalam menentukan urutan pengerjaan bisa diperlukan analisa yang lebih dalam untuk setiap pekerjaan.
3. Membuat suatu diagram jaringan (network diagram).
Setelah mendapatkan urutan pengerjaan suatu pekerjaan maka suatu diagram dapat dibuat. Diagram akan menunjukan pekerjaan-pekerjaan yang harus dilakukan berurutan(serial) atau secara bersamaan (pararell). Pada diagram PERT biasanya suatu pekerjaan dilambangkan dengan simbol lingkaran dan titik tempuh dilambangkan dengan simbol panah.
4. Memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk setiap aktivitas. Dalam menentukan waktu dapat menggunakan satuan unit waktu yang sesuai misal jam, hari, minggu, bulan, dan tahun.
5. Menetapkan suatu jalur kritis (critical path). Suatu jalur kritis bisa didapatkan dengan menambah waktu suatu aktivitas pada tiap urutan pekerjaan dan menetapkan jalur terpanjang pada tiap proyek. Biasanya sebuah jalur kritis terdiri dari pekerjaan-pekerjaan yang tidak bisa ditunda waktu pengerjaannya. Dalam setiap urutan pekerjaan terdapat suatu penanda waktu yang dapat membantu dalam menetapkan jalur kritis, yaitu :
• ES – Early Start
• EF – Early Finish
• LS – Latest Start
• LF – Latest Finish
Dengan menggunakan empat komponen penanda waktu tersebut bisa didapatkan suatu jalur kritis sesuai dengan diagram.
6. Melakukan pembaharuan diagram PERT sesuai dengan kemajuan proyek. Sesuai dengan berjalannya proyek dalam waktu nyata. Waktu perencanaan sesuai dengan diagram PERT dapat diperbaiki sesuai dengan waktu nyata. Sebuah diagram PERT mungkin bisa digunakan untuk merefleksikan situasi baru yang belum pernah diketahui sebelumnya.
Dari langkah-langkah penjelasan metode PERT maka bisa dilihat suatu karakteristik dasar PERT, yaitu sebuah jalur kritis. Dengan diketahuinya jalur kritis ini maka suatu proyek dalam jangka waktu penyelesaian yang lama dapat diminimalisasi. Ciri-ciri jalur kritis adalah:
• Jalur yang biasanya memakan waktu terpanjang dalam suatu proses.
• Jalur yang tidak memiliki tenggang waktu antara selesainya suatu tahap kegiatan dengan mulainya suatu tahap kegiatan berikutnya.
• Tidak adanya tenggang waktu tersebut yang merupakan sifat kritis dari jalur kritis.
Terdapat beberapa karakteristik proyek, adalah sebagai berikut:
• Kegiatannya dibatasi oleh waktu; sifatnya sementara, diketahui kapan mulai dan berakhirnya.
• Dibatasi oleh biaya.
• Dibatasi oleh kualitas.
• Biasanya tidak berulang-ulang.
Manfaat PERT adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui ketergantungan dan keterhubungan tiap pekerjaan dalam suatu proyek.
2. Dapat mengetahui implikasi dan waktu jika terjadi keterlambatan suatu pekerjaan.
3. Dapat mengetahui kemungkinan untuk mencari jalur alternatif lain yang lebih baik untuk kelancaran proyek.
4. Dapat mengetahui kemungkinan percepatan dari salah satu atau beberapa jalur kegiatan.
5. Dapat mengetahui batas waktu penyelesaian proyek.

Sumber: http://cpmpert.wordpress.com/2007/06/06/apa-itu-cpm-%E2%80%93-pert/

PERT merupakan singkatan dari Program Evaluation and Review Technique (teknik menilai dan meninjau kembali program), sedangkan CPM adalah singkatan dari Critical Path Method (metode jalur kritis) dimana keduanya merupakan suatu teknik manajemen. Teknik PERT adalah suatu metode yang bertujuan untuk sebanyak mungkin mengurangi adanya penundaan, maupun gangguan produksi, serta mengkoordinasikan berbagai bagian suatu pekerjaan secara menyeluruh dan mempercepat selesainya proyek. Teknik ini memungkinkan dihasilkannya suatu pekerjaan yang terkendali dan teratur, karena jadwal dan anggaran dari suatu pekerjaan telah ditentukan terlebih dahulu sebelum dilaksanakan.
Tujuan dari PERT adalah pencapaian suatu taraf tertentu dimana waktu merupakan dasar penting dari PERT dalam penyelesaian kegiatan-kegiatan bagi suatu proyek. Dalam metode PERT dan CPM masalah utama yaitu teknik untuk menentukan jadwal kegiatan beserta anggaran biayanya dengan maksud pekerjaan-pekerjaan yang telah dijadwalkan itu dapat diselesaikan secara tepat waktu serta tepat biaya.
CPM adalah suatu metode perencanaan dan pengendalian proyek-proyek yang merupakan sistem yang paling banyak digunakan diantara semua sistem yang memakai prinsip pembentukan jaringan. Dengan CPM, jumlah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan berbagai tahap suatu proyek dianggap diketahui dengan pasti, demikian pula hubungan antara sumber yang digunakan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek. Jadi CPM merupakan analisa jaringan kerja yang berusaha mengoptimalkan biaya total proyek melalui pengurangan waktu penyelesaian total proyek yang bersangkutan. Teknik penyusunan jaringan kerja yang terdapat pada CPM, sama dengan yang digunakan pada PERT. Perbedaan yang terlihat adalah bahwa PERT menggunakan activity oriented, sedangkan dalam CPM menggunakan event oriented. Pada activity oriented anak-panah menunjukkan activity atau pekerjaan dengan beberapa keterangan aktivitasnya, sedang event oriented pada peristiwalah yang merupakan pokok perhatian dari suatu aktivitas.
Pada prinsipnya yang menyangkut perbedaan PERT dan CPM adalah sebagai berikut :
a. PERT digunakan pada perencanaan dan pengendalian proyek yang belum pernah dikerjakan, sedangkan CPM digunakan untuk menjadwalkan dan mengendalikan aktivitas yang sudah pernah dikerjakan sehingga data, waktu dan biaya setiap unsur kegiatan telah diketahui oleh evaluator.
b. Pada PERT digunakan tiga jenis waktu pengerjaan yaitu yang tercepat, terlama serta terlayak, sedangkan pada CPM hanya memiliki satu jenis informasi waktu pengerjaan yaitu waktu yang paling tepat dan layak untuk menyelesaikan suatu proyek.
c. Pada PERT yang ditekankan tepat waktu, sebab dengan penyingkatan waktu maka biaya proyek turut mengecil, sedangkan pada CPM menekankan tepat biaya.
d. Dalam PERT anak panah menunjukkan tata urutan (hubungan presidentil), sedangkan pada CPM tanda panah adalah kegiatan.

Sumber: http://grahacendikia.files.wordpress.com/2009/04/pert-dan-cpm.pdf

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah :

1. Kedatangan Populasi yang akan dilayani (calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte). Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.
a. Single channel, single server






b. Single channel, multi server






c. Multi channel, single server








Sumber: http://sutanto.staff.uns.ac.id/files/2009/03/bab10a.pdf

Dalam matematika, pemrograman linear ialah teknik optimisasi yang melibatkan variabel-variabel linear. Dalam model pemrograman linear dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi objektif (objective function) dan fungsi kendala (constraint function) yang linear.
Pemrograman linear dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut:

Dalam hal ini, x ialah vektor variabel, sedangkan c dan b ialah vektor koefisien dan A ialah matriks koefisien. Fungsi objektifnya ialah ekspresi yang hendak dimaksimalkan atau diminimalkan (yaitu cTx). Persamaan Ax ≤ b ialah fungsi kendala yang menunjukkan polihedron konveks tempat fungsi objektifnya dioptimisasi.
Pemrograman linear dapat diterapkan pada berbagai bidang studi. Metode ini paling banyak digunakan dalam bisnis dan ekonomi, namun juga dapat dimanfaatkan dalam sejumlah perhitungan ilmu teknik. Misalnya, dalam ekonomi, fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal, sedangkan fungsi batasan menggambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. Industri yang memanfaatkan pemrograman linear di antaranya ialah industri transportasi, energi, telekomunikasi, dan manufaktur. Pemrograman linear juga terbukti berguna dalam membuat model berbagai jenis masalah dalam perencanaan, perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas, dan desain.

Sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

x1, x2, …, xn >= 0

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris-baris penunguan. Kebanyakan model antrian menganggap bahwa input dan output dari sistem antrian menurut proses birth and death. Proses birth and death ini terjadi secara random yang rata-rata terjadinya hanya bergantung pada keadaan yang sedang berlangsung (current state) dari sistem (jumlah calling unit dari sistem antrian).
Jelasnya adalah:

1. Birth postulate adalah sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan bahwa tepat ada satu kelahiran selama interval waktu t sampai dengan (t + Δt) adalah [λn Δt + 0 (Δt)], dimana λn positif konstan.
2. Death postulate adalah sistem pada state En (n=0, 1, 2, …) pada saat t kemungkinan bahwa tepat ada satu kemataian selama interval waktu t sampai dengan (t + Δt) adalah μ0 = 0 dan μn positif konstan untuk n > 0.
3. Multiple jump postulate adalh sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan bahwa jumlah kombinasi kelahiran dan kematian lebih dari satu selama interval waktu t s/d (t + Δt) adalah 0 (Δt).

Keterangan: 0 (Δt) adalah fungsi dari Δt yang karena Δt <<< (kecil sekali, mendekati nol), maka fungsi tersebut akan memenuhi persamaan: limΔt0 0(Δt)/Δt = 0

SUMBER: Dimyati A, Operations Research, Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung, 2006.

a11y1 + a21y2 + … + am1ym >= c1
a12y1 + a22y2 + … + am2ym >= c2

.
.
.

a1ny1 + a2ny2 + … + amnym >= cn
y1, y2, …, ym >= 0

Probabilitas transisi adalah probabilitas pergerakan dari keadaan Ei ke Ej,
dinotasikan dengan Pij. Untuk memperoleh matriks probabilitas transisi atau matriks P diperlukan pengamatan yang teliti terhadap kondisi sistem pada satu period ke periode yang berikutnya.

sumber: Dimyati A. Operations Research. Model-Model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru Algensindo. Bandung, 2006.

Pada tahun 1906, A.A. Markov (1856-1922) seorang ahli matematika dari Rusia yang merupakan murid Chebysev, mengemukakan teori ketergantungan variabel acak proses acak yang dikenal dengan proses markov. Model ini berhubungan dengan suatu rangkaian proses dimana kejadian akibat suatu eksperimen hanya tergantung pada kejadian yang langsung mendahuluinya dan tidak tergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya yang lain.

Markov Chain bisa diterapkan diberbagai bidang antara lain ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan lain-lain. Proses markov adalah proses stokastik masa lalu yang tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Proses stokastik sendiri merupakan aturan untuk menentukan fungsi X(t, ξ) untuk setiap ξ. Jadi, proses stokastik adalah keluarga fungsi waktu yang tergantung pada parameter ξ atau secara ekivalen fungsi t dan ξ. X(t) adalah proses keadaan diskret bila harga-harganya bulat. Bila tidak demikian X(t) adalah proses kontinu.
Analisa markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah analisa rantai markov tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusannya. Dengan demikian, analisa rantai markov bukanlah teknik optimasi, tetapi adalah teknik deskriptif yang mengahasilkan informasi probabilitas dimasa mendatang. Untuk mendapatkan analisa rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, adalah sebagai berikut:
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1.
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem.
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
4. Kondisi merupakan kondisi yang independen sepanjang waktu.

Penerapan analisa markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisa markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem).

Rantai markov (markov chain) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk pembuatan model (modelling) bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut diwaktu yang lalu. Teknik ini juga dapat digunakan untuk menganalisa kejadian-kejadian diwaktu-waktu mendatang secara matematis dan sistematis. Penerapan proses markov chain mula-mula adalah digunakan untuk menganalisa dan memperkirakan perilaku partikel-pertikel gas dalam suatu wadah (container) tertutup serta meramal keadaan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilam keputusan manajerial. Proses markov telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perpindahan merek (brands witching) dalam pemasaran, perhitungan rekening, jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan, masalah-masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, dan administrasi rumah sakit.