Pada persoalan ini pemain yang akan memaksimumkan (pemain A) akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan menggunakan criteria maksimum, sedangkan pemain yang akan meminimumkan (pemain B) akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan menggunakan criteria minimaks. Jika nilai maksimin sama dengan nilai minimaks, maka permainan telah dipecahkan. Sedangkan jika nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, maka titik keseimbangan tidak dapat tercapai. Hal ini berarti saddle point­-nya tidak adadan permainan tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa permaian dengan strategi murni memliki satu saddle point dengan nilai 4. Strategi optimum bagi perusahaan A adalah A2, dan strategi optimum bagi perusahaan B adalah B3. Berikut ini diberikan suatu konklusi dari criteria maksimin dan minimaks:
Criteria maksimin diperoleh dengan cara mendapatkan nilai minimum dari masing-masing baris. Nilai terbesar dari nilai-nilai minimum adalah nilai maksimin.
Kriteri minimaks diperoleh dengan cara mendapatkan nilai maksimum dari masing-masing kolom. Nilai terkecil dari nilai maksimum ini adalah nilai minimaks.

SUMBER: Dimyati A, Operations Research, Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung, 2006.

Teori permainan merupakan bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau lebih barada dalam kondisi perasaingan atau konflik. Pihak-pihak yang bersaing disumsikan bersifat rasional untuk memenangkan persaingan itu, dan masing-masing pihak juga mengetahui strategi pihak lawannya.
Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada factor-faktor berikut: banyaknya pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yang digunakan dalam permainan.

SUMBER: Dimyati A, Operations Research, Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung, 2006.

Analisis jaringan merupakan suatu perpaduan pemikiran yang logis, digambarkan dengan suatu jaringan yang berisi lintasan-lintasan kegiatan dan memungkinkan pengolahan secara analitis. Analisa jaringan kerja memungkinkan suatu perencanaan yang efektif dari suatu rangkaian yang mempunyai interaktivitas. Keuntungan dari analisis jaringan adalah:

1. Dapat merencanakan suatu proyek secara keseluruhan.
2. Penjadwalan pekerjaan dalam urutan yang praktis dan efisien.
3. Pengadaan pengawasan dan pembagian kerja maupun biaya.
4. Penjadwalan ulang untuk mengatasi hambatan dan keterlambatan.
5. Menentukan kemungkinan pertukaran antara waktu dan biaya.
   

SUMBER: http://www.google.co.id/search?hl=id&source=hp&q=analisis+jaringan&btnG=Telusuri+dengan+Google&meta=&aq=f&oq=

PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. PERT yang memiliki kepanjangan Program Evalution Review Technique adalah suatu metodologi yang dikembangkan oleh Angkatan Laut Amerika Serikat pada tahun 1950 untuk mengatur program misil. Sedangkan terdapat metodologi yang sama pada waktu bersamaan yang dikembangkan oleh sektor swasta yang dinamakan CPM atau Critical Path Method.
Metodologi PERT divisualisasikan dengan suatu grafik atau bagan yang melambangkan ilustrasi dari sebuah proyek. Diagram jaringan ini terdiri dari beberapa titik (nodes) yang merepresentasikan kejadian (event) atau suatu titik tempuh (milestone). Titik-titik tersebut dihubungkan oleh suatu vektor (garis yang memiliki arah) yang merepresentasikan suatu pekerjaan (task) dalam sebuah proyek. Arah dari vektor atau garis menunjukan suatu urutan pekerjaan.
Dari gambar 1 dapat diamati bahwa setiap arah panah akan menunjukan suatu urutan pengerjaan. Seperti pekerjaan 1 dilakukan terlebih dahulu (start), kemudian bisa dilanjutkan oleh pekerjaan 2, 3, 4, setelah itu pekerjaan 5,6. Titik 7 adalah titik finish dimana pekerjaan terakhir dilakukan dan merupakan akhir dari sebuah proyek. Selain menunjukkan suatu urutan pengerjaan diagram PERT juga menunjukan suatu keterikatan antar pekerjaan yang tidak dapat dipisahkan. Keterikatan itu dapat dilihat dengan contoh pekerjaan 2, 3, 4 hanya dapat dilakukan jika pekerjaan 1 sudah selesai dilakukan.
Sebuah pekerjaan yang dapat dilakukan bersamaan dengan pekerjaan lain disebut juga sebagai pekerjaan pararel (pararel task atau concurrent task). Selain itu terdapat juga sebuah aktivitas yang diwakili oleh garis putus-putus yang disebut dengan dummy activities. Dari sebuah diagram PERT dapat digunakan untuk mengetahui suatu urutan aktivitas kritis atau aktivitas yang harus dilakukan sebagai prioritas utama (critical path), penjadwalan dengan aktivitas lain, dan jumlah pekerja yang dibutuhkan.

Dalam melakukan perencanaan dengan PERT dibutuhkan beberapa langkah, yaitu:
1. Mengidentifikasi aktivitas (activity) dan titik tempuhnya (milestone).
Sebuah aktivitas adalah pekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sebuah proyek. Titik tempuh (milestone) adalah penanda kejadian pada awal dan akhir satu atau lebih aktivitas. Untuk mengidentifikasi aktivitas dan titik tempuh dapat menggunakan suatu tabel agar lebih mudah dalam memahami dan menambahkan informasi lain seperti urutan dan durasi.
2. Menetapkan urutan pengerjaan dari aktivitas-aktivitas yang telah direncanakan.
Langkah ini bisa dilakukan bersamaan dengan identifikasi aktivitas. Dalam menentukan urutan pengerjaan bisa diperlukan analisa yang lebih dalam untuk setiap pekerjaan.
3. Membuat suatu diagram jaringan (network diagram).
Setelah mendapatkan urutan pengerjaan suatu pekerjaan maka suatu diagram dapat dibuat. Diagram akan menunjukan pekerjaan-pekerjaan yang harus dilakukan berurutan(serial) atau secara bersamaan (pararell). Pada diagram PERT biasanya suatu pekerjaan dilambangkan dengan simbol lingkaran dan titik tempuh dilambangkan dengan simbol panah.
4. Memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk setiap aktivitas. Dalam menentukan waktu dapat menggunakan satuan unit waktu yang sesuai misal jam, hari, minggu, bulan, dan tahun.
5. Menetapkan suatu jalur kritis (critical path). Suatu jalur kritis bisa didapatkan dengan menambah waktu suatu aktivitas pada tiap urutan pekerjaan dan menetapkan jalur terpanjang pada tiap proyek. Biasanya sebuah jalur kritis terdiri dari pekerjaan-pekerjaan yang tidak bisa ditunda waktu pengerjaannya. Dalam setiap urutan pekerjaan terdapat suatu penanda waktu yang dapat membantu dalam menetapkan jalur kritis, yaitu :
• ES – Early Start
• EF – Early Finish
• LS – Latest Start
• LF – Latest Finish
Dengan menggunakan empat komponen penanda waktu tersebut bisa didapatkan suatu jalur kritis sesuai dengan diagram.
6. Melakukan pembaharuan diagram PERT sesuai dengan kemajuan proyek. Sesuai dengan berjalannya proyek dalam waktu nyata. Waktu perencanaan sesuai dengan diagram PERT dapat diperbaiki sesuai dengan waktu nyata. Sebuah diagram PERT mungkin bisa digunakan untuk merefleksikan situasi baru yang belum pernah diketahui sebelumnya.
Dari langkah-langkah penjelasan metode PERT maka bisa dilihat suatu karakteristik dasar PERT, yaitu sebuah jalur kritis. Dengan diketahuinya jalur kritis ini maka suatu proyek dalam jangka waktu penyelesaian yang lama dapat diminimalisasi. Ciri-ciri jalur kritis adalah:
• Jalur yang biasanya memakan waktu terpanjang dalam suatu proses.
• Jalur yang tidak memiliki tenggang waktu antara selesainya suatu tahap kegiatan dengan mulainya suatu tahap kegiatan berikutnya.
• Tidak adanya tenggang waktu tersebut yang merupakan sifat kritis dari jalur kritis.
Terdapat beberapa karakteristik proyek, adalah sebagai berikut:
• Kegiatannya dibatasi oleh waktu; sifatnya sementara, diketahui kapan mulai dan berakhirnya.
• Dibatasi oleh biaya.
• Dibatasi oleh kualitas.
• Biasanya tidak berulang-ulang.
Manfaat PERT adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui ketergantungan dan keterhubungan tiap pekerjaan dalam suatu proyek.
2. Dapat mengetahui implikasi dan waktu jika terjadi keterlambatan suatu pekerjaan.
3. Dapat mengetahui kemungkinan untuk mencari jalur alternatif lain yang lebih baik untuk kelancaran proyek.
4. Dapat mengetahui kemungkinan percepatan dari salah satu atau beberapa jalur kegiatan.
5. Dapat mengetahui batas waktu penyelesaian proyek.

Sumber: http://cpmpert.wordpress.com/2007/06/06/apa-itu-cpm-%E2%80%93-pert/

Program dinamis (dynamic programming) merupakan suatu metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin, solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya, dan menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap. Krakteristik program dinamis adalah sebagai berikut:
1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.
2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan.
5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.
6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
7. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.
8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Terdapat dua solusi pendekatan programa dinamis, yaitu pendekatan maju (forward atau up-down) dan pendekatan mundur (backward atau bottom-up).
1. Program dinamis maju.
Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x1, x2, …, xn.
2. Program dinamis mundur.
Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.

Konsep dasar programa dinamis adalah sebagai berikut:
• Berdasarkan prinsip optimisasi Bellman (1950):
An optimal policy has the property that whatever the initial decision are, the remaining decisions must constitute an optimal policy with regard to the state resulting from the first decision
• Suatu masalah dapat dibagi menjadi beberapa tahap
• Dalam rangkaian keputusan yang telah diambil, hasil dari masing-masing terpengaruh pada hasil keputusan sebelumnya.
• Rangkaian keputusan yang diambil mesti membentuk kebijakan yang optimal secara keseluruhan.
• Bagi tahap persoalan yang masih tersisa kita diizinkan mengambil keputusan yang layak tanpa tergantung dari keputusan-keputusan yang telah diambil sebelumnya èoptimisasi prinsip.
• Prosedur pemecahan masalah dalam program dinamik dilakukan secara rekursif
• Pada setiap tahap, nilai keadaan tahap sebelumnya merupakan masukan untuk tahap sekarang dan keluarannya menjadi masukan untuk tahap berikutnya. Pada setiap tahap kita diharuskan mengambil keputusan optimal.













Sumber:mufidnilmada.staff.gunadarma.ac.id/.../files/.../Program+Dinamis.ppt, www.mie.unja.ac.id/pustaka/risetop.ppt

PERT merupakan singkatan dari Program Evaluation and Review Technique (teknik menilai dan meninjau kembali program), sedangkan CPM adalah singkatan dari Critical Path Method (metode jalur kritis) dimana keduanya merupakan suatu teknik manajemen. Teknik PERT adalah suatu metode yang bertujuan untuk sebanyak mungkin mengurangi adanya penundaan, maupun gangguan produksi, serta mengkoordinasikan berbagai bagian suatu pekerjaan secara menyeluruh dan mempercepat selesainya proyek. Teknik ini memungkinkan dihasilkannya suatu pekerjaan yang terkendali dan teratur, karena jadwal dan anggaran dari suatu pekerjaan telah ditentukan terlebih dahulu sebelum dilaksanakan.
Tujuan dari PERT adalah pencapaian suatu taraf tertentu dimana waktu merupakan dasar penting dari PERT dalam penyelesaian kegiatan-kegiatan bagi suatu proyek. Dalam metode PERT dan CPM masalah utama yaitu teknik untuk menentukan jadwal kegiatan beserta anggaran biayanya dengan maksud pekerjaan-pekerjaan yang telah dijadwalkan itu dapat diselesaikan secara tepat waktu serta tepat biaya.
CPM adalah suatu metode perencanaan dan pengendalian proyek-proyek yang merupakan sistem yang paling banyak digunakan diantara semua sistem yang memakai prinsip pembentukan jaringan. Dengan CPM, jumlah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan berbagai tahap suatu proyek dianggap diketahui dengan pasti, demikian pula hubungan antara sumber yang digunakan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek. Jadi CPM merupakan analisa jaringan kerja yang berusaha mengoptimalkan biaya total proyek melalui pengurangan waktu penyelesaian total proyek yang bersangkutan. Teknik penyusunan jaringan kerja yang terdapat pada CPM, sama dengan yang digunakan pada PERT. Perbedaan yang terlihat adalah bahwa PERT menggunakan activity oriented, sedangkan dalam CPM menggunakan event oriented. Pada activity oriented anak-panah menunjukkan activity atau pekerjaan dengan beberapa keterangan aktivitasnya, sedang event oriented pada peristiwalah yang merupakan pokok perhatian dari suatu aktivitas.
Pada prinsipnya yang menyangkut perbedaan PERT dan CPM adalah sebagai berikut :
a. PERT digunakan pada perencanaan dan pengendalian proyek yang belum pernah dikerjakan, sedangkan CPM digunakan untuk menjadwalkan dan mengendalikan aktivitas yang sudah pernah dikerjakan sehingga data, waktu dan biaya setiap unsur kegiatan telah diketahui oleh evaluator.
b. Pada PERT digunakan tiga jenis waktu pengerjaan yaitu yang tercepat, terlama serta terlayak, sedangkan pada CPM hanya memiliki satu jenis informasi waktu pengerjaan yaitu waktu yang paling tepat dan layak untuk menyelesaikan suatu proyek.
c. Pada PERT yang ditekankan tepat waktu, sebab dengan penyingkatan waktu maka biaya proyek turut mengecil, sedangkan pada CPM menekankan tepat biaya.
d. Dalam PERT anak panah menunjukkan tata urutan (hubungan presidentil), sedangkan pada CPM tanda panah adalah kegiatan.

Sumber: http://grahacendikia.files.wordpress.com/2009/04/pert-dan-cpm.pdf

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah :

1. Kedatangan Populasi yang akan dilayani (calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte). Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.
a. Single channel, single server






b. Single channel, multi server






c. Multi channel, single server








Sumber: http://sutanto.staff.uns.ac.id/files/2009/03/bab10a.pdf

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris baris penungguan.

Contoh contoh kasus antrian :
1. Para pembelanja yang berdiri didepan kounter di supermarket.
2. Mobil-mobil yang menunggu di lampu merah.
3. Pasien yang menunggu diklinik rawat jalan.
4. Pesawat yang menunggu lepas landas dibandara udara.
5. Mesin-mesin rusak yang menunggu untuk diperbaiki oleh petugas perbaikan mesin.
6. Surat yang menunggu diketik oleh seorang sekretaris.
7. Program yang menunggu untuk diproses oleh komputer digital.

Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu.
Tujuan mempelajari pengoeprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acak adalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari.
Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution)
Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian :
1. Cara memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan
FCFS ( first come first served)
LCFS ( last come first served)
SIRO ( served in random order)
2. Berkaitan dengan rancangan sarana dan pelaksanaan pelayanan
Parralel served
Serial served
Random served
3. Berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan pelaksanaan pelayanan.
4. Berkaitan dengan ukuran antrian yang diijinkan.
5. Berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan.
Unsur unsur dasar model antrian bergantung pada faktor :
1. Distribusi kedatangan( kedatangan tunggal atau kelompok )
2. Distribusi waktu pelayanan ( pelayanan tunggal atau kelompok )
3. Rancangan sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan )
4. Peraturan pelayanan(FCFS, LCFS, SIRO) dan prioritas utama.
5. Ukuran antrian( terhingga atau tidak hingga ).
6. Sumber pemanggilan(terhingga atau tidak terhingga).
7. Perilaku manusia( perpindahan, penolakan atau pembatalan).
Situasi antrian dimana kedatangan dan keberangkatan (kejadian) yang timbul
selama interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut :
• Kondisi 1 :Probabilitas dari sebuah kejadian( kedatangan atau keberangkatan)
yang timbul antara t dan t +s bergantung hanya pada panjang s, yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0,t).
• Kondisi 2 : Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tapi kurang dari satu.
• Kondisi 3 : Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang
sangat kecil h.
Ketiga kondisi diatas menjabarkan sebuah proses dimana julah kejadian selama satu interval waktu yang diberikan adalah Poisson, dan karena itu interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut turut adalah eksponensial. Dengan kasus demikian, kita katakan bahwa kondisi kondisi tersebut mewakili proses Poisson.

http://indeecom.wordpress.com/2008/01/01/model-teori-antrian/

Dalam matematika, pemrograman linear ialah teknik optimisasi yang melibatkan variabel-variabel linear. Dalam model pemrograman linear dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi objektif (objective function) dan fungsi kendala (constraint function) yang linear.
Pemrograman linear dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut:

Dalam hal ini, x ialah vektor variabel, sedangkan c dan b ialah vektor koefisien dan A ialah matriks koefisien. Fungsi objektifnya ialah ekspresi yang hendak dimaksimalkan atau diminimalkan (yaitu cTx). Persamaan Ax ≤ b ialah fungsi kendala yang menunjukkan polihedron konveks tempat fungsi objektifnya dioptimisasi.
Pemrograman linear dapat diterapkan pada berbagai bidang studi. Metode ini paling banyak digunakan dalam bisnis dan ekonomi, namun juga dapat dimanfaatkan dalam sejumlah perhitungan ilmu teknik. Misalnya, dalam ekonomi, fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal, sedangkan fungsi batasan menggambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. Industri yang memanfaatkan pemrograman linear di antaranya ialah industri transportasi, energi, telekomunikasi, dan manufaktur. Pemrograman linear juga terbukti berguna dalam membuat model berbagai jenis masalah dalam perencanaan, perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas, dan desain.

Sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear